Fraktale mit komplexen Polynomen
Heute gibt es tiefe Einblicke in ästhetische (geometrische) Körper.
Wir betrachten ein Polynom \( p \) auf der komplexen Ebene mit
\[ p(z)= {435.147z^{3.2683} -270.845z^{-8.289} -936.558} \]
Ein sehr einfaches Verfahren die Nullstellen dieses Polynoms zu berechnen ist die Newton-Methode. Unter den richtigen Umständen konvergiert die Reihe
\[ z_{n+1} = z_n - \frac{p \left( z_{n} \right) }{p’ \left( z_{n} \right) } \]
zu einer (komplexen) Nullstelle des Polynoms \( p \). Dabei muss aber anfangs ein Startwert \( z_0\) geraten werden. Wir wählen für diese Startwerte gleichverteilte Punkte auf der komplexen Ebene, berechnen die Nullstellen mit dem oben genannten Verfahren und stellen den Logarithmus der Anzahl der benötigten Interationen \( n_{\text{iter}} \) um ein vorher festgelegtes Konvergenzkriterium zu erfüllen, mittels einer Farbskala dar.
Im ersten Frame der Animation blicken wir auf die komplexe Ebene mit \( \left( z \in \mathbb{C} : \Re(z) \in \left[ -10,10 \right] , \Im(z) \in \left[ -10 , 10 \right] \right) \) und verkleinern den Bereich langsam auf \( \left( z \in \mathbb{C} : \Re(z) \in \left[ -3.093 \times 10^{-3}, 3.093 \times 10^{-3} \right] , \Im(z) \in \left[ -3.093 \times 10^{-3}, 3.093 \times 10^{-3} \right] \right) \)
Der Algorithmus zeigt ein chaotisches Konvergenzverhalten: Kleine Abweichungen von den “geratenen” Startwerten \( z_0\) führen zu großen Unterschieden in der Anzahl der benötigten Iterationen \( n_{\text{iter}} \).
Mittels Erweiterung des Ableitungsbegriffs auf rationale Ordnungen bekommt man ein anderes Konvergenzverhalten und damit andere Fraktale. So ist z.B. die Riemann-Liouville Ableitung der Ordnung \( \alpha \) eines Monoms \( z^m \) definiert zu:
\[ D^{\alpha}_{\text{RL}} z^m = \frac{\Gamma \left( m+1 \right) }{\Gamma \left( m - \alpha +1 \right)} z^{m-\alpha} \]
mit der komplexen Gammafunktion \( \Gamma \).
Hier gibt’s den Quellcode mit dem das oben gezeigte Fraktal generiert wurde: